Números Complexos na Eletricidade

Acima apresentamos os quatro quadrantes trigonométricos. Veja a posição do ângulo do vetor

1° Quadrante: 0° < 90°

2° Quadrante: 90° < 180°

3° Quadrante: 180° < 270°

4° Quadrante: 270° < 360° = 0°

Devemos que o eixo x ou R deverá ser representado como o Eixo dos n°s reais. Já o eixo y ou J, representaremos o eixo dos n°s imaginários. Observe que - 45° = 315°. Um ângulo negativo na verdade, corresponde a 360°, uma volta completa, no sentido anti-horário, menos o dito ângulo. No ângulo negativo, você parte do 0°, girando no sentido horário, e no ângulo positivo, você parte do 0°, no sentido anti-horário. Assim, o ângulo de 315°, no sentido anti-horário, é a mesma posição de -45°, no sentido horário.

Simbolizamos um Vetor utilizando uma letra maiúscula acompanhado de um acento circunflexo, seta ou ponto, sobre a letra. Veja um exemplo:

Representações de um Vetor.

> Forma Polar: |E| |_Ø__

> Forma trigonométrica: |E| x cos Ø + J |E| x sin Ø

> Forma cartesiana: Ex + J Ey

É importante ressaltar que estas formas representam um mesmo vetor. Com qualquer uma chegamos às outras.

|E| ---> módulo

Ø ---> ângulo

Ex ---> Parte Real (coordenada no eixo x)

Ey ---> Parte imaginária (coordenada no eixo y)

Agora vamos realizar a transformação Polar para Cartesiana e vice - versa.

Polar para Cartesiana:

|E| |_Ø__ ---> |E| x cos Ø + J |E| x sin Ø ---> Ex + J Ey

Ex 1: Vetor: 5 |36,87° ---> 5 x cos 36,87° + J 5 x sin 36,87° = 4 + J3

Desta forma: 5 | 36,87° = 4 + J3

Desta forma, observamos que se passa pela forma trigonométrica para chegar a forma cartesiana.

Cartesiana para Polar :

Ex + J Ey ---> |E| = raí quadrada de ( Ex2 + Ey2 ) e Ø = arc tg Imaginário(Ey) / Real ( EX)

Agora já podemos pensar em praticar algumas operações como adição, subtração, multiplicação e divisão.

Soma

Os vetores têm que estar na forma cartesiana. Soma-se as partes reais e as partes imaginárias separadamente.

	Parte Real	Parte Imaginária
Vetor 1	5	+ J7
+ Vetor 2	6	+ J4
+ Vetor 3	1	+ J2
Soma	12	+ J13

O resultado é 12 + J13 (é um vetor que está no 1° quadrante, porque tanto a parte real, como a imaginária é positiva). 0° < Ø <90°.

	Parte Real	Parte Imaginária
Vetor 1	- 2	+ J 4
+ Vetor 2	3	+ J – 2
+ Vetor 3	- 5	+ J -8
Soma	- 4	+J -6

O resultado é - 4 - J6 (é um vetor que está no 3° quadrante, porque tanto a parte real, como a imaginária são negativas. 180° < Ø <270° .

Subtração

	Parte Real	Parte Imaginária
Vetor 1	- 5	+ J 6
- Vetor 2	2	+ J 3
Soma	- 7	+ J 3

O resultado é - 7+ J3 (é um vetor que está no 2° quadrante, porque a parte real, é negativa, e a imaginária positivas. 90° < Ø <180°

	Parte Real	Parte Imaginária
Vetor 1	6	+ J -7
- Vetor 2	1	+ J - 2
- Vetor 3	3	+ J - 1
Soma	2	+ J - 4

O resultado é 2 - J4 ( é um vetor que está no 4° quadrante, porque a parte real, é positiva, e a imaginária negativa. 270° < Ø <360° ou 0°

Divisão e Multiplicação:

Os vetores têm que estar na forma polar. Multiplica-se os módulos e soma-se os ângulos no caso da multiplicação e divide-se os módulos e subtrai-se os ângulos, no caso da divisão.

Ex.1:

3|_45°__ X 5 |_120°__ = 3 X 5 |_45°__+__120°__ = 15 |_165°__

Ex. 2 :

4 !_340°__ / 2 |_60°__ = 4 /2 |_340°__-__60°__ = 2 |_280°__

Alguns exemplos práticos em corrente alternada

Impedância:
Normalmente é dada na forma cartesiana, onde a parte real corresponde a resistência do fio ( R) e a parte imaginária é a reatância ( capacitiva - Xc ou indutiva - XL). Para multiplicar a impedância por uma corrente, p.ex., é necessário primeiro transformar a indutância na forma polar, o que permite sua multiplicação e divisão. Para dividir uma tensão por uma impedância também temos que por a impedância na forma polar.

R = 5 Ohms, XL = 10 Ohms

Z = Raíz quadrada de ( 25 + 100 )

Ø = arc tg 10/5 = arc tg 2 = 63,4°

Z = 11,18 |_ 63,4°__ .Nesta forma, posso multiplicar esta impedância por uma corrente ou dividir uma tensão por ela.

Lembre-se: V = Z x I e I = V / Z

Tensão e corrente:

É mais comum vermos estas grandezas elétricas na forma polar. Para somarmos ou subtrairmos duas, ou mais, correntes ou tensões, primeiro temos que transformá-las na forma cartesiana.

Ex. I = 30 |_ 45°__ Amperes

Ix = 30 x cos 45 = 30 x 0,787 = 23,61 amperes (eixo x)

Iy = 30 x sin 45 = 30 x 0,787 = 23,61 amperes ( eixo y)

I = 30 |_ 45°__ Amperes = 23,61 + J 23,61 amperes. Agora posso somar esta corrente a outra corrente, que também esteja na forma cartesiana.

Potência:

Em corrente alternada existem três potências. Potência aparente(S), Potência ativa(P) e Potência reativa(Q). A potência aparente ( VA) é o módulo e ângulo do vetor potência. A potência ativa (WATTS) é a componente real do vetor potência. A potência reativa é a componente imaginária do vetor potência. Na literatura elétrica ou em manuais de fabricantes é comum vermos dado somente a potência ativa (Watts), mais o cos Ø. Note que neste caso, não nos foi fornecido nem a forma polar nem a cartesiana, mas sim um híbrido das duas formas. Foi dado a parte real da forma cartesiana mais o cos do ângulo da forma polar. Neste caso o primeiro passo é encontrar a forma polar por inteiro S = |S| |_Ø__ . Sabemos, na conversão de polar para cartesiana que P = |S| x cos Ø, então |S| = P / cos Ø e Ø = arc cos ( cos Ø dado ). Para achar Q , fazemos Q = |S| x sin Ø . Agora, temos a forma polar e a cartesiana da potência. Podemos somá-la com outra potência, dividi-la pela corrente para encontrar a tensão, etc. Lembre-se que S (Potência CA) = VI

Ex. Motor: P = 10000 Watts e cos Ø.

Encontrar a potência aparente e a reativa do motor. |S| = P / cos Ø ---> |S| = 10000 / 0,6 = 16666 VA ( Volt x Ampere)

Ø = arc cos (cosØ dado) ---> arc cos 0,6 = 53,13°

Q = |S| x sin Ø ---> 16666 x 0,7999 = 13 333 VAr ( Volts x Amperes reativo )

forma polar ---> S = 16666 |_ 53,13°__

forma cartesiana ---> S = 10000 + J 13333

Agora, na forma cartesiana podemos somar as duas potências, p. ex. e na forma polar, dividir a potência encontrada pela tensão da rede, para achar a corrente, p.ex. Veja que, que em CA, todas as grandezas são vetoriais ( Z-impedância , Resistência, X-reatância, V-tensão, I-corrente, S-potência aparente, P-potência ativa, Q-potência reativa ,etc). Não se esqueça que R(Ohms) e P(Watts) são vetores com ângulo zero e X(Ohms) e Q(VAr) com ângulo + 90°.